Математик решил задачу оптимального управления неограниченным множеством объектов

10:27, 11 февраля 2021

Работа применима для координации эскадрилий беспилотных летательных аппаратов

Математик предложил использовать концепцию стабильности Красовского-Субботина к ситуации управления большим количеством однотипных объектов. Фото: Илья Сафаров.

Доцент кафедры прикладной математики и механики УрФУ, старший научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН Юрий Авербух предложил методы построения стратегий, решающих задачу оптимального управления множеством объектов с применением концепции стабильности Красовского-Субботина. Статью об этом ученый опубликовал в Journal of Mathematical Analysis and Applications.

«Нас окружает огромное количество систем — биологических, технических, экономических, на которые мы можем воздействовать, которыми мы можем управлять. Задача в том, чтобы делать это оптимально, например, достигая нужной точки с приложением минимума усилий, ресурсов и времени, — объясняет суть Юрий Авербух. — С математической точки зрения, эта задача сводится к теории оптимального управления. Классический пример из этой теории — управление посадкой на Луну: оптимизация объема топлива, используемого для этого, открывает возможность увеличить объем доставляемого груза».

Специальным разделом теории оптимального управления является теория дифференциальных игр. Она изучает управление одним, несколькими или множеством объектов в конфликтной ситуации и на основе текущей информации о поведении игроков — как ведущих (убегающих), так и ведомых (догоняющих). Как и вся теория оптимального управления, теория дифференциальных игр тесно связана с теорией дифференциальных уравнений в частных производных.

Прочная связь теории уравнений частных производных с дифференциальными играми установлена в 1970-80-х годах виднейшими представителями уральской математической школы академиками Николаем Красовским, который разработал понятие стабильности, и Андреем Субботиным, записавшим условие стабильности в виде уравнений частных производных. Альтернативные работы выполнены и группой западных математиков.

«Функция стабильности — это функция минимального, гарантированного результата управляющего игрока. В теории Красовского мы „заставляем“ своего „убегающего“ оппонента, будь то человек, техническое средство или силы стихии, „рассказать“ о своих управленческих намерениях. Опираясь на эти данные и посчитав сумму выигрыша этого игрока в результате игры, можно оценить и свой итоговый выигрыш. Условию стабильности отвечает ситуация, когда в конце игры мы не ухудшаем свой результат, — рассказывает Юрий Авербух. — Так как мы понимаем, что получим в конце, ситуация становится полностью предсказуемой. То есть расчет функции стабильности позволяет предвидеть и предсказывать результат развития ситуации и, следовательно, выстраивать стратегию управления ею».

По словам Авербуха, приложив функцию стабильности к экономике, мы можем установить, что, как бы ни действовал наш конкурент, у нас останется, предположим, не менее 1 млн рублей, на которые можно смело рассчитывать. В технической сфере, посчитав функцию стабильности, мы будем твердо знать, что отклонение самолета при посадке под воздействием ветра составит не больше, к примеру, 10 метров. Это дает возможность рассчитать оптимальную ширину взлетно-посадочной полосы.

«Гениальность подхода академиков Красовского и Субботина в том, что, построив так называемую стратегию экстремального сдвига, они показали, как, зная „намерения“ оппонирующего игрока, в данном случае ветра, готового „рассказать“ о своих планах по управлению самолетом (назовем такого игрока „глупым“, „манекеном“), играть против „умного“, „зловредного“, то есть реального ветра. Таким образом, чтобы выполнять условие стабильности, достаточно играть против „манекенного“ ветра, а чтобы играть против „умного“ игрока, настоящего ветра, нужно посчитать функцию стабильности, решив уравнения частных производных», — продолжает Юрий Авербух.

Ученый, в свою очередь, задался вопросом: приложима ли концепция стабильности Красовского-Субботина к ситуации управления большим количеством однотипных объектов. В статье, вышедшей в Journal of Mathematical Analysis and Applications, ученый обосновал положительный ответ на этот вопрос. Он показал, как конкретно выглядит решение в виде уравнений частных производных.

«Дело оказалось непростым: ведь мы имеем дело с множеством агентов, предполагая, что их количество бесконечно, как количество молекул в воздухе. Чтобы объекты действовали согласованно, каждому из них нужно показать, как им управлять. При этом мы допускаем, что отдельный объект действует, не „опознавая“ остальные обособленно, а воспринимая их как „обезличенную“ массу, то есть в так называемом „среднем поле“, — рассказывает Юрий Авербух. — Справиться с этой проблемой позволило использование языка описания мер (долей), дающих представление о плотности объектов в границах определенного участка».

Наиболее очевидное на сегодня практическое применение результатов исследований Юрия Авербуха — управление эскадрильями беспилотных летательных аппаратов.

«Представим, что перед дронами поставлена задача в заданное время равномерно распределиться над полем и обработать его от вредителей. При этом на дроны воздействует ветер. Определив их плотность в той или иной зоне на старте с земли (например, выяснится, что на одном участке концентрируется 20% дронов, а на другом — 80%) и посчитав функцию стабильности, мы можем, во-первых, отдать дронам команду распределиться более равномерно, а, во-вторых, уверенно предсказать, что в определенный момент погрешность в их равномерном распределении составит, скажем, 10%, через какое-то время — 9% и так далее, а в конце — 5%, что будет приемлемым минимальным значением. То есть решение функции стабильности покажет, как двигаться дронам, чтобы в нужный момент занять оптимальную позицию над полем», — поясняет Юрий Авербух.

В данном случае «манекен», против которого мы играем в уравнениях частных производных, — это «глупый» ветер, который «рассказывает» о том, как он будет воздействовать на дроны. Зная это и согласно стратегии экстремального сдвига Красовского-Субботина, можно рассчитать, как будет действовать ветер «умный и злой», то есть какое воздействие на дроны он будет оказывать в действительности и, следовательно, как им нужно двигаться, чтобы не ухудшить результат, а по возможности и улучшить его.

В будущем, по представлениям Юрия Авербуха, эти же принципы можно применять в управлении наночастицами, например, для транспортировки лекарств к определенному участку организма.